連立方程式 x₁ − 3x₃ = 8、2x₁ + 2x₂ + 9x₃ = 7、x₂ + 5x₃ = −2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   消去法を力ずくで回さず、欠けている変数を利用する。 第 1 式には $x_2$ が無く、第 3 式には $x_1$ が無いので、それぞれがすでに 1 つの変数を $x_3$ だけで表している。ここでは行基本変形よりも代入のほうがはるかに安上がりである。

2. 2

   変数の欠けた 2 式を x1 と x2 について解く。

   $x_1=8+3x_3,\qquad x_2=-2-5x_3.$

3. 3

   両方を残りの式に代入する。

   $2(8+3x_3)+2(-2-5x_3)+9x_3=7.$

4. 4

   展開してまとめる。

   $16+6x_3-4-10x_3+9x_3=7\ \Longrightarrow\ 12+5x_3=7\ \Longrightarrow\ x_3=-1.$

5. 5

   残る 2 つの未知数を後退代入で求める。

   $x_1=8+3(-1)=5,\qquad x_2=-2-5(-1)=3.$

6. 6

   3 式すべてで検算する。 $5-3(-1)=5+3=8$ ✓、$2(5)+2(3)+9(-1)=10+6-9=7$ ✓、$3+5(-1)=-2$ ✓。係数行列式は $-5\neq 0$ なので、$(5,3,-1)$ が唯一の解である。