連立方程式 x₁ − 3x₂ + 4x₃ = −4、3x₁ − 7x₂ + 7x₃ = −8、−4x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   分数を避けられる主成分を選ぶ。 第 1 式はすでに $x_1$ の係数が $1$ なので、これを使って他の 2 式から $x_1$ を消す。ここで他の主成分を選ぶと、たちまち 3 分の 1 や 4 分の 1 が現れてしまう。

2. 2

   第 2 式から x1 を消去する。 第 2 式から $3\times$（第 1 式）を引く：

   $(3x_1-7x_2+7x_3)-3(x_1-3x_2+4x_3)=-8-3(-4)$
   $2x_2-5x_3=4.$

3. 3

   第 3 式から x1 を消去する。 第 3 式に $4\times$（第 1 式）を足す：

   $(-4x_1+6x_2+2x_3)+4(x_1-3x_2+4x_3)=4+4(-4)$
   $-6x_2+18x_3=-12\quad\Longrightarrow\quad x_2-3x_3=2.$

4. 4

   縮小された 2 元連立を解く。 $x_2=2+3x_3$ を $2x_2-5x_3=4$ に代入すると：

   $2(2+3x_3)-5x_3=4\ \Longrightarrow\ 4+x_3=4\ \Longrightarrow\ x_3=0,$

   したがって $x_2=2$ である。

5. 5

   x1 を後退代入で求める。 第 1 式を使うと：

   $x_1=-4+3x_2-4x_3=-4+6-0=2.$

6. 6

   元の 3 式すべてで検算する。 $2-6+0=-4$ ✓、$6-14+0=-8$ ✓、$-8+12+0=4$ ✓。係数行列式は $6\neq 0$ なので、この解 $(x_1,x_2,x_3)=(2,2,0)$ が唯一の解である。