3 種類の香辛料に未知の辛さの値がある。そのうち 2 つの平均を取って残りの 1 つを足すと、3 通りの選び方でそれぞれ 35、27、25 になる。3 つの値のうち最大のものを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に 2 分の 1 を払う。 各式に $2$ を掛けると係数が整数になり、対称性が見えるようになる：

   $x+y+2z=70,\qquad x+2y+z=54,\qquad 2x+y+z=50.$

2. 2

   対称性を利用して 3 つの式をすべて足す。 どの文字も係数 $2$ で 1 回、係数 $1$ で 2 回現れるので、どの文字も合計で係数 $4$ を得る：

   $4x+4y+4z=70+54+50=174\quad\Longrightarrow\quad x+y+z=\frac{174}{4}=43.5.$

   この 1 つの数が鍵である。3 つの式のそれぞれが 1 行の引き算に変わる。

3. 3

   2 倍した各式から総和を引く。 $x+y+2z=70$ の左辺はちょうど $(x+y+z)+z$ なので、

   $z=70-43.5=26.5.$

   である。他の 2 つにも同じ手を使うと

   $y=54-43.5=10.5,\qquad x=50-43.5=6.5.$

   が得られる。

4. 4

   もとの 3 つの条件をすべて検算する。 $x=6.5$、$y=10.5$、$z=26.5$ とすると：

   $\frac{6.5+10.5}{2}+26.5=8.5+26.5=35,\qquad \frac{6.5+26.5}{2}+10.5=16.5+10.5=27,$

   $\frac{10.5+26.5}{2}+6.5=18.5+6.5=25.$

   3 つとも一致する。

5. 5

   最大の値を選び出す。 $6.5$、$10.5$、$26.5$ を比べると、最も辛い香辛料の値は

   $z=26.5=\tfrac{53}{2}.$

   である。この構造が与えてくれる近道にも注目したい。$z=(\text{その式を 2 倍した値})-43.5$ なので、最大の値はつねに、与えられた 3 つの合計のうち最大のものと対応する。