方程式 −1/m + 1 − m = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を書き留める。 項 $\tfrac1m$ があるため $m\neq 0$ であり、$0$ という解の候補が出てきたとしても棄却しなければならない。

2. 2

   両辺に $m$ を掛ける。 $m\neq 0$ なので、この操作は可逆である：

   $-1+m-m^2=0$

3. 3

   最高次の係数を正にする。 $-1$ を掛けて $m^2$ の項を正にする：

   $m^2-m+1=0$

4. 4

   判別式を計算して結論を読み取る。 $a=1$、$b=-1$、$c=1$ なので：

   $\Delta=(-1)^2-4(1)(1)=1-4=-3<0$

   判別式が負であることは、実数解が無いことを意味する。図形的には $y=m^2-m+1=\left(m-\tfrac12\right)^2+\tfrac34$ の最小値が $\tfrac34>0$ なので、グラフは軸に決して触れない。

5. 5

   参考として複素数解も挙げる。 $\sqrt{-3}=i\sqrt3$ なので

   $m=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$

   これらは 1 の原始 6 乗根であり、どちらも絶対値は $1$ である。検算：和は $1$、積は $\tfrac{1+3}{4}=1$ で、$-\tfrac{b}{a}$ と $\tfrac{c}{a}$ に一致する $\checkmark$。