2 を底とする x の対数と、3 を底とする x の対数の和が 5 になる x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の対数の底を揃える。 底の違う対数はそのままでは足せないが、底の変換公式で揃えられる：

   $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_3 x=\frac{\ln x}{\ln 3}$

   （共通の底なら何でもよいが、自然対数にすると記法が短くて済む。）

2. 2

   $t=\ln x$ と置くと 1 次方程式が現れる。

   $\frac{t}{\ln 2}+\frac{t}{\ln 3}=5$

   未知数は $t$ を通してしか現れず、しかも 1 次である——こう書き直してしまえば、これは対数方程式ではなく 1 次方程式である。

3. 3

   $t$ をくくり出して分数をまとめる。

   $t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}\right)=5\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln 2\,\ln 3}=5\quad\Rightarrow\quad t=\frac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 2+\ln 3}$

   $\ln 2+\ln 3=\ln 6$ なので、同じことだが $t=\dfrac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 6}$ とも書ける。

4. 4

   $t$ を数値で求める。 $\ln 2=0.6931472$、$\ln 3=1.0986123$ とすると：

   $\ln 2\,\ln 3=0.7615000,\qquad \ln 6=1.7917595,\qquad t=\frac{3.8075001}{1.7917595}=2.1250062$

5. 5

   指数をとって $x$ に戻す。

   $x=e^{t}=e^{2.1250062}=8.3729497$

   $x>1$ でどちらの対数も正なので、この値は整合的である。しかも $2^{5/2}\approx 5.66$ を超えていなければならない——$\log_3 x$ が 0 だとすれば、$\log_2x$ だけでそれだけの大きさが必要になるからである。

6. 6

   検算し、値 6.06 を退ける。 $\log_2 8.3729497=3.0657$、$\log_3 8.3729497=1.9343$ で、和は $5.0000$ ✓。これに対して $x=6.06$ では $2.5993+1.6400=4.2393$ となり、$5$ にほぼ $0.76$ 足りないので解ではない。