log 1576 を log 2.44 で割った値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   底の変換の形を見抜く。 許される任意の底 $c$ について

   $\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$

   が成り立つ。したがって同じ底で取られた 2 つの対数の商は、1 つの対数になる。しかも底 $c$ は答えに現れないので、これらが常用対数か自然対数かは問題にならない。

2. 2

   底と真数を読み取る。 ここでは分子の真数が $1576$、分母のそれが $2.44$ なので

   $\frac{\log 1576}{\log 2.44}=\log_{2.44}1576$

   となる。言葉でいえば、$2.44^x=1576$ となる指数 $x$ のことである。

3. 3

   2 つの対数を計算する。 底 $10$ では

   $\log 1576\approx 3.1975562,\qquad \log 2.44\approx 0.3873898$

   となる。どちらも安全に 0 ではないので、商はきちんと定義される（$2.44\neq 1$）。

4. 4

   割り算する。

   $\frac{3.1975562}{0.3873898}\approx 8.2541048$

   割り算には 7 桁を持ち込む。対数を早く打ち切りすぎると、よく引用されるが誤った値 $8.2537$ が出てしまう。

5. 5

   指数に戻して検証する。 $2.44^{8.2541}\approx 1575.99$ で、これは丸めの範囲で $1576$ である。対して $2.44^{8.2537}\approx 1575.43$ は——すでに $0.57$ 足りない——ので、$8.2537$ が小数第 4 位まで正確ではないと判別できる。したがって値は $\log_{2.44}1576\approx 8.2541$ である。