9 の x 乗を 12 で割ると 21 になる。x を求めよ。

Step-by-step solution

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   対数に手を出す前に指数部分を単独にする。 両辺に $12$ を掛ける：

   $9^x=21\cdot 12=252$

   $12$ が付いたまま先に対数をとると、何の得もないまま余計な $\log 12$ を各行に引きずることになる。

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   252 が 9 の累乗かどうかを調べる。 $9^2=81$、$9^3=729$ であり、$252$ はその間にきっちり収まる。したがって答えは $2$ と $3$ の間にあり、きれいな分数にはならない——対数が本当に必要である。

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   両辺の対数をとる。 $\log_9$ をそのまま適用してもよいし、底の変換公式で任意の底を使ってもよい：

   $x=\log_9 252=\frac{\ln 252}{\ln 9}$

   2 つの対数は同じ底でなければならない。自然対数を選ぶのがふつうである。

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   値を計算する。 $\ln 252=5.529429$、$\ln 9=2.197225$ なので、

   $x=\frac{5.529429}{2.197225}=2.5165516$

   これは手順 2 で予想したとおり $2$ と $3$ の間にある。

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   代入して検証する。 $9^{2.5165516}=252.00$ であり、$12$ で割れば $21.00$ に戻る。よって $x=\log_9 252\approx 2.5166$ である。（$\ln 9=2\ln 3$ なので、$x=\frac{\ln 252}{2\ln 3}$ という厳密な形も同値である。）