不等式 (2x + 1)(3x − 1)² ÷ (x³ × (√2 − 1)) ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定数の因数を片づける。 $\sqrt2\approx 1.4142>1$ なので $\sqrt2-1>0$ である。正の定数で割っても不等号の向きは変わらないので、そのまま落としてよい。

   $\frac{(2x+1)(3x-1)^{2}}{x^{3}}\le 0.$

2. 2

   各因数を、符号への効き方で分類する。 臨界値は $x=-\tfrac12$、$x=0$、$x=\tfrac13$ である。

   • $(2x+1)$ は $-\tfrac12$ で符号を変える。
   • $(3x-1)^{2}$ は偶数乗なのでどこでも $\ge 0$ であり、符号を裏返すことは決してない。$\tfrac13$ で 0 になるだけである。
   • $x^{3}$ は奇数乗なので $0$ で符号を裏返す。ちょうど $x$ と同じである。
   • $x=0$ は定義域から除かれる。
3. 3

   もっと簡単な商の符号に帰着させる。 $x=\tfrac13$ を除けば因数 $(3x-1)^2$ は真に正なので、それ以外の場所では不等式は次と同じ符号のふるまいをする。

   $\frac{2x+1}{x}\le 0.$

4. 4

   −1/2 と 0 で切られる区間の上に符号表を作る。

   $x<-\tfrac12:\ \tfrac{(-)}{(-)}=+\quad;\quad -\tfrac12<x<0:\ \tfrac{(+)}{(-)}=-\quad;\quad x>0:\ \tfrac{(+)}{(+)}=+.$

   よって商が負になるのはちょうど $\left(-\tfrac12,0\right)$ の上である。

5. 5

   等号の場合を加える。 不等号は等号を含むので、式が 0 に等しくかつ定義される点をすべて入れる。$x=-\tfrac12$（$2x+1=0$ より）と $x=\tfrac13$（$(3x-1)^2=0$ より）である。$x=0$ はそこで分母が 0 になるので除かれたままである。

6. 6

   解集合を書く。

   $x\in\left[-\tfrac12,\,0\right)\cup\left\{\tfrac13\right\}.$

   覚えておく価値があるのは孤立点 $\tfrac13$ である。偶数乗の因数は符号の変化を生まないが、等号つきの不等式では自分の零点を単独の解として持ち込む。抜き取り検算でも裏づけられる。$x=\tfrac13$ では式が $0$ になり、$x=0.4$ では正になる。