方程式 |-6 + 4x| = |10 + x| を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まずそれぞれの絶対値を整える。 記号の中の項の順序を入れ替えても値は変わらない。$|-6+4x| = |4x-6|$、$|10+x| = |x+10|$ である。これで方程式は

   $|4x - 6| = |x + 10|$

   となる。この形なら 2 つの 1 次式を見比べやすい。

2. 2

   2 つの絶対値が等しいときの規則を使う。 両辺を 2 乗すると $A^2 = B^2$、すなわち $(A-B)(A+B) = 0$ になる。したがって $|A| = |B|$ は、ちょうど 2 通りの 1 次の可能性と同値である。

   $A = B \quad \text{または} \quad A = -B$

   これが、記号を別々に外して 4 通りにするのではなく 2 つの場合で済む理由である。

3. 3

   場合 1：中身が等しいとき。

   $4x - 6 = x + 10$

   $3x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{16}{3}$

4. 4

   場合 2：中身が符号違いのとき。

   $4x - 6 = -(x + 10) = -x - 10$

   $5x = -4 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{5}$

5. 5

   2 つの候補を元の方程式で確かめる。 2 乗の操作は無縁解を生みうるので、代入は省けない。$x = \tfrac{16}{3}$ のとき

   $\left|-6 + \tfrac{64}{3}\right| = \tfrac{46}{3}, \qquad \left|10 + \tfrac{16}{3}\right| = \tfrac{46}{3}$

   $x = -\tfrac45$ のとき

   $\left|-6 - \tfrac{16}{5}\right| = \tfrac{46}{5}, \qquad \left|10 - \tfrac45\right| = \tfrac{46}{5}$

   どちらも両辺が一致するので、無縁解はない。

6. 6

   解集合を述べる。 相異なる 2 つの値がこの方程式を満たす。

   $x = \frac{16}{3} \quad \text{または} \quad x = -\frac{4}{5}$

   図形的には、V 字型のグラフ $y = |4x-6|$ と $y = |x+10|$ が交わる 2 点にあたる。