方程式 |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4| を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   正の定数を絶対値の外に出す。 $c > 0$ のとき $|A/c| = |A|/c$ なので

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   となる。分母の $7$、$4$ と係数 $\tfrac12$ はいずれも正なので、これらについて符号を気にする必要はない。

2. 2

   分母を払う。 両辺に $56$（$7$ と $8$ の最小公倍数）を掛けると：

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   これで分数がなくなり、2 つの絶対値の外には整数だけが残る。

3. 3

   安全に両辺を 2 乗する。 両辺とも非負なので、ここでの 2 乗は可逆な操作であり、これによって無縁解が入り込むことはない：

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   展開して二次方程式にまとめる。

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   二次方程式を解く。 $a = 23$、$b = -118$、$c = 15$ として：

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{または} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   判別式が完全平方になっているのは、この問題が有理数の解をもつように作られている証拠である。

6. 6

   両方の解をもとの方程式で検算する。 $x = 5$ のとき：$\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$ かつ $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$。$x = \tfrac{3}{23}$ のとき：$\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$ かつ $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$。どちらもぴったり合うので、解集合は $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$ である。