連立方程式 x2 + 4x3 = -4、x1 + 3x2 + 3x3 = -2、3x1 + 7x2 + 5x3 = 6 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   拡大係数行列を書き、文字の順序を固定する。 列を $x_1,x_2,x_3$ と定数に割り当てる。1 つ目の式には $x_1$ がないので、先頭は $0$ になる。 $\left[\begin{array}{ccc|c} 0&1&4&-4\\ 1&3&3&-2\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

2. 2

   最初の主成分が 1 になるように行を入れ替える。 $R_1$ と $R_2$ を交換すると左上に先頭の $1$ が来て、以降の分数を避けられる。 $\left[\begin{array}{ccc|c} 1&3&3&-2\\ 0&1&4&-4\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

3. 3

   最初の主成分の下を掃き出す。 $R_3 \leftarrow R_3-3R_1$ とすると $[3,7,5\mid 6]-3[1,3,3\mid -2] = [0,-2,-4\mid 12]$ なので、第 3 行は $0,-2,-4\mid 12$ になる。2 つ目の主成分は $R_2$ ですでに $1$ である。

4. 4

   2 つ目の主成分の下を掃き出す。 $R_3 \leftarrow R_3+2R_2$ とすると $[0,-2,-4\mid12]+2[0,1,4\mid-4] = [0,0,4\mid4]$ になる。$\tfrac14$ 倍して $[0,0,1\mid1]$ とすれば $x_3 = 1$ が得られ、行列は行階段形になった。

5. 5

   主成分の上も掃き出して後退代入する。 $R_2 \leftarrow R_2-4R_3$ で $[0,1,4\mid-4]$ は $[0,1,0\mid-8]$ に、$R_1 \leftarrow R_1-3R_3$ で $[1,3,3\mid-2]$ は $[1,3,0\mid-5]$ に、最後に $R_1 \leftarrow R_1-3R_2$ で $[1,0,0\mid19]$ になる。

6. 6

   解を読み取り、一意性を確かめる。 簡約後の行列は単位行列に $(19,-8,1)$ を並べた形なので、$x_1=19$、$x_2=-8$、$x_3=1$ である。元の 3 式で確認すると $-8+4(1)=-4$、$19+3(-8)+3(1)=19-24+3=-2$、$3(19)+7(-8)+5(1)=57-56+5=6$。未知数 3 つに対して主成分が 3 つあるので、解は一意である。