直線 y = −4x + 2.5 と曲線 y = 2.44x/(1 + 1.44x) の交点を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   y を表す 2 つの式を等号でつなぐ。 交点ではどちらの式も同じ $y$ を返すので、 $-4x+2.5 = \frac{2.44x}{1+1.44x}.$ $1+1.44x=0$、すなわち $x=-\tfrac{1}{1.44}=-0.6944\ldots$ に極があることに注意する。これは答えから必ず除かねばならない。

2. 2

   分母を払う。 両辺に $1+1.44x$ を掛けると（極から離れたところでは正当である）$(-4x+2.5)(1+1.44x) = 2.44x$ となる。左辺を展開すると $-4x-5.76x^2+2.5+3.6x = -5.76x^2-0.4x+2.5$ である。

3. 3

   標準的な 2 次方程式の形にまとめる。 $2.44x$ を移項すると $-5.76x^2-2.84x+2.5=0$ となる。$-1$ を掛け、次に $100$ を掛けて 2 で割ると、整数係数の形 $288x^2+142x-125=0.$ が得られる。係数が整数なら判別式が厳密に出せる。

4. 4

   2 次方程式を解く。 $\Delta = 142^2+4(288)(125) = 20164+144000 = 164164 = 4\cdot 41041$ なので $x = \frac{-142 \pm 2\sqrt{41041}}{576} = \frac{-71 \pm \sqrt{41041}}{288}.$ $\sqrt{41041}\approx 202.58578$ より $x_1 \approx 0.456895$、$x_2 \approx -0.949951$ である。どちらも $-0.6944$ ではないので、極の確認をどちらも通過する。

5. 5

   y の値は直線から求める。 代入が楽なのは直線のほうである：$y_1 = -4(0.456895)+2.5 \approx 0.672420$、$y_2 = -4(-0.949951)+2.5 \approx 6.299803$。

6. 6

   直線だけでなく曲線でも検算する。 $\dfrac{2.44(0.456895)}{1+1.44(0.456895)} \approx 0.672420$、$\dfrac{2.44(-0.949951)}{1+1.44(-0.949951)} \approx 6.299803$ となり、どちらも一致するので、2 点は確かに両方のグラフの上にある。2 つ目の点は、鉛直漸近線の向こう側にある双曲線の遠いほうの枝の上にある。