(1 + x) の指数 27 から 36 までの 10 個の累乗を足し合わせた和が 20 になるとき、x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $y=1+x$ と置き、最低次の累乗をくくり出す。 10 個の指数は連続しているので

   $y^{27}\bigl(1+y+y^2+\cdots+y^{9}\bigr)=20$

   となる。これが要となる一手である。これをしなければ 36 次の多項式とにらみ合うことになるが、これをすれば等比数列の和を眺めるだけで済む。

2. 2

   等比数列の和の公式で括弧をつぶす。 $y\ne 1$ のとき

   $1+y+\cdots+y^{9}=\frac{y^{10}-1}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad y^{27}\cdot\frac{y^{10}-1}{y-1}=20$

   となる。有理数の解は残らない——$y=1$ では $10$、$y=2$ では $10^{10}$ を超えてしまう——ので、解は数値的に求めるほかない。

3. 3

   符号の変化で正の解を挟み込む。 $S(y)=y^{27}+\cdots+y^{36}$ と書く。$S(1)=10<20$ であり

   $S(1.05)=1.05^{27}\cdot\frac{1.05^{10}-1}{0.05}=46.959>20$

   なので、解は $(1,1.05)$ の中にある。小数第 7 位まで二分法で追うと $y=1.0221841$、すなわち $x=0.0221841$ が得られ、$S(1.0221841)=19.99997$ となる。

4. 4

   符号の並びを明示して 2 つ目の実数解を求める。 $u>0$ として $y=-u$ とおくと、交互に現れる符号はちょうど

   $S(-u)=u^{27}(u-1)\bigl(1+u^2+u^4+u^6+u^8\bigr)$

   とまとまる。これは $0<u<1$ で負、$u=1$ で 0（$S(-1)=0$ と合う）、$u>1$ で狭義単調増加なので、$20$ とちょうど 1 回だけ交わる。二分法で $u=1.1184421$ が得られ、そこでこの因数分解した式は $19.99998$ になる。よって $y=-1.1184421$、$x=-2.1184421$ である。

5. 5

   ほかに実数解がないことを論じる。 $y>0$ では各項 $y^k$ が増加するので $S$ は $0$ から $\infty$ まで狭義に増加し、$20$ を 1 回だけ横切る。$y<0$ では上の因数分解した形が $u=1$ より先で単調であり、$u\le 1$ では $20$ に届かない。実数解は合計 2 つで、36 次多項式の残り $34$ 個の解は複素数である。

6. 6

   $x$ に戻して答えを述べる。 置き換え $x=y-1$ を戻すと

   $x\approx 0.0221841\qquad\text{または}\qquad x\approx -2.1184421$

   となる。