(1 + x) の 12 乗から 11.0528x を引いたものが 1 になる x を求めよ。

Step-by-step solution

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   根を求める問題に書き直す。 $1$ を左辺に移して $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ とおくと、求めるのは $f(x)=0$ である。これは年金・内部収益率の方程式の形をしており、$12$ 期にわたる積立の倍率と、利率の $11.0528$ 倍とを釣り合わせている。

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   自明な根を見つける。 $f(0)=1^{12}-0-1=0$ なので $x=0$ は厳密な解である。これは「利率 0」という退化した場合なので、経済的に意味のある 2 つ目の根があると予想される。

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   2 つ目の根を探す前に極値の位置を押さえる。 $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$ であり、これが 0 になるのは $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$、すなわち $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$ のときである。$f'$ は $x$ について増加するので、これが唯一の極小点であり、$f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$ である。

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   実数の根がちょうど 2 つあることを結論し、もう一方を挟み込む。 $f$ は $f(-1)=10.0528$ から極小へ下がり、それから $f(0)=0$ まで戻るので、根が 1 つ極小点の左側にある。試すと $f(-0.02)=+0.0057727$、$f(-0.01)=-0.0030871$ なので、根は $(-0.02,-0.01)$ にある。

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   二分法で十分な精度まで詰める。 挟み込む区間を繰り返し半分にすると $x \approx -0.01508489,$ が得られ、そこで $f(x)$ は $10^{-16}$ 以内で 0 になる。$x\approx-0.00745$ の付近で止めてしまわないよう注意する。そこは極小点であり $f=-0.0035\ne0$ である。

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   検証して意味を読む。 $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$、$-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$ であり、その和は $1.000000$ で右辺と一致する。実数解は $x=0$ と $x\approx-1.5085\%$（1 期あたり）の 2 つである。正の利率の解は存在しない。$x>0$ ではつねに $f>0$ だからである。