log10(log10(x + 0.6)) = 8.8289 - 3.2511 log10(284 + 273.15) を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず右辺を 1 つの数にまとめる。 右辺には $x$ が含まれないので、単なる算術である。対数の中から始めると

   $284+273.15=557.15$

   となる（摂氏温度に $273.15$ を足すという形が、これがアントワン式の蒸気圧の公式であることを示している）。

2. 2

   右辺の数値を計算する。

   $\log_{10}(557.15)=2.7459721,\qquad3.2511\times2.7459721=8.9274300$

   なので

   $8.8289-8.9274300=-0.0985300$

   となる。結果は 負 だが、これで問題ない。$0$ と $1$ のあいだの数の対数であって、あり得ない値ではない。

3. 3

   外側の対数をほどく。 両辺を $10$ の指数に載せると

   $\log_{10}(x+0.6)=10^{-0.0985300}=0.7970214$

   となる。指数をとることで負の値が $1$ 未満の正の値に変わる ✓。

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   内側の対数をほどく。 もう一度指数をとると

   $x+0.6=10^{0.7970214}=6.2664474$

   となる。

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   $x$ を求め、定義域を確認する。

   $x=6.2664474-0.6=5.6664474\approx5.666$

   この値では 2 つの対数がどちらも成立する。$x+0.6=6.266>0$ であり、$\log_{10}(6.266)=0.797>0$ なので外側の対数の真数も正である ✓——入れ子の対数では 両方 の条件が必要で、ここではどちらも満たされている。

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   代入して検証する。 $\log_{10}\left(\log_{10}(5.6664474+0.6)\right)$ を計算すると $-0.0985300$ となり、$10^{-7}$ の範囲で右辺に一致する ✓。外側の $10^{u}$ が誤差を増幅するので、途中の値は少なくとも 7 桁持ち回ることが重要である。$-0.0985$ と早く丸めてしまうと、$x$ が小数第 3 位でずれる。