32log3(x - 5) = 49 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   解く前に定義域を述べる。 対数は真数が狭義に正でなければならないので

   $x-5>0\qquad\Longrightarrow\qquad x>5$

   となる。答えの候補はこの条件を満たさなければならない。制限を先に書いておくからこそ、最後の確認が後付けではなく意味のある手順になる。

2. 2

   対数を孤立させる。 両辺を係数 $32$ で割ると

   $\log_3(x-5)=\frac{49}{32}$

   となる。右辺を厳密な分数 $\tfrac{49}{32}=1.53125$ のまま残しておけば、答えも厳密に保たれる。

3. 3

   指数の形に直す。 対数の定義そのものである同値関係

   $\log_b(A)=c\iff A=b^{\,c}$

   を使う。ここでは $b=3$、$A=x-5$、$c=\tfrac{49}{32}$ なので

   $x-5=3^{49/32}$

   となる。

4. 4

   x について解く。 $5$ を足すと

   $x=5+3^{49/32}$

   となる。これが厳密な答えである。$\tfrac{49}{32}$ は整数ではなく、$49$ と $32$ は $3$ と共通因数を持たないので、これ以上の簡約はできない。

5. 5

   数値で評価し、定義域を確認する。 $3^{49/32}=3^{1.53125}=5.37764$ なので

   $x=5+5.37764=10.37764$

   となる。大きさの目安としては、$3^{1.5}=\sqrt{27}\approx5.196$ なので $3^{1.53125}$ はそれより少し大きいはずである——実際そうなっている ✓。また $x\approx10.378>5$ なので対数は定義され、この解は正当である。

6. 6

   代入して検証する。 $x=10.3776424$ とすると $x-5=5.3776424$ であり、$\log_3(5.3776424)=\dfrac{\ln 5.3776424}{\ln 3}=1.531250$ なので $32\times1.53125=49.0000$ ✓。