log の底 3 の 18 を、2 に log の底 3 の 2 を加えたもので割った値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   記号を読み解く。 もとの式はコロンを使って $\log_3 18:(2+\log_3 2)$ と書かれており、この流儀では「$a:b$」は $a\div b$ を意味する。したがって課題は 1 つの分数 $\dfrac{\log_3 18}{2+\log_3 2}$ の値を求めることである。

2. 2

   底のべきが現れるように 18 を因数分解する。 底は $3$ なので、$3$ の因数を探す：

   $18=9\cdot 2=3^2\cdot 2$

   これが着想のすべてである。分母にはすでに裸の $2$ と $\log_3 2$ が入っており、分子が同じ 2 つの部品を隠し持っていることを示唆している。

3. 3

   積の法則で対数を分ける。 $\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N$ を使うと、

   $\log_3 18=\log_3(3^2)+\log_3 2=2+\log_3 2$

   となる。$\log_3(3^2)=2$ がちょうど成り立つからである。

4. 4

   代入して約分する。 分子はいまや分母と完全に同一である：

   $\frac{\log_3 18}{2+\log_3 2}=\frac{2+\log_3 2}{2+\log_3 2}=1$

   $\log_3 2\approx 0.6309>0$ なので分母はおよそ $2.63$ であり、決して零ではない。だからこの約分は正当である。

5. 5

   数値で確かめる。 $\log_3 18=\frac{\ln 18}{\ln 3}=2.6309298$ であり、$2+\log_3 2=2+0.6309298=2.6309298$ である。両者は小数第 7 位まで一致するので、比はちょうど $1$ である。