方程式 7(s + 9)^2 - 20(s + 9) = 3 の実数解を求めよ。

Step-by-step solution

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   繰り返し現れるかたまりを見つける。 式 $s+9$ は 2 乗の形と 1 乗の形で現れ、それ以外の場所には出てこない。これが置き換えの合図である。この方程式は $s$ についてではなく、このかたまりについて 2 次なのである。

2. 2

   u = s + 9 とおく。 方程式は $7u^2-20u=3$ となり、$3$ を移項すると標準形 $7u^2-20u-3=0$ になる。先に 2 乗を展開しても解けるが、得るもののないまま数が大きくなるだけである。

3. 3

   u の 2 次式を因数分解する。 積が $7\cdot(-3)=-21$、和が $-20$ になる 2 数を探すと $-21$ と $1$ が見つかるので、$7u^2-21u+u-3=7u(u-3)+(u-3)=(7u+1)(u-3)=0$ となる。したがって $u=3$ または $u=-\frac17$ である。

4. 4

   置き換えを戻す。 $u=s+9$ なので $s=u-9$ である。$u=3$ からは $s=-6$、$u=-\frac17$ からは $s=-\frac17-9=-\frac{64}{7}$ が得られる。

5. 5

   元の方程式で 2 つの解を確かめる。 $s=-6$ のとき $s+9=3$ なので $7(9)-20(3)=63-60=3$。$s=-\frac{64}{7}$ のとき $s+9=-\frac17$ なので $7\cdot\frac{1}{49}+\frac{20}{7}=\frac17+\frac{20}{7}=3$。どちらもちょうど $3$ になる。