方程式 (3x − 5)² − 8(3x − 5) + 16 = 0 の実数解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し現れる式を見つける。 2 項式 $3x-5$ が 2 乗と 1 乗で現れているので、置き換えをすればこの方程式はただの 2 次方程式に縮む。

2. 2

   u = 3x − 5 とおく。 方程式は $u^2-8u+16=0$ になる。$16=4^2$、$8=2\cdot 4$ であり、これはまさに完全平方式の形である。

3. 3

   完全平方として因数分解する。 $u^2-8u+16=(u-4)^2$ なので、$(u-4)^2=0$ から $u=4$ が確定する。因数が重なっているため、これは 2 つの相異なる値ではなく重解である。

4. 4

   x について解く。 $3x-5=4$ から $3x=9$、よって $x=3$ となる。解は 1 つだけで、その重複度は 2 である。

5. 5

   代入し直す。 $x=3$ のとき $3x-5=4$ なので、$4^2-8(4)+16=16-32+16=0$ となる。左辺はちょうど 0 であり、ただ 1 つの重解であることが確かめられる。