7 + 2(5x + 2x²) = 16 を解き、それぞれの答えを最も簡単な根号の形で示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   括弧を展開し、すべてを一方の辺に集める。

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   次数の高い順に並べて書けば、係数 $a=4$、$b=10$、$c=-9$ をそのまま読み取れる。

2. 2

   まず因数分解できるか試す。 積が $4\cdot(-9)=-36$、和が $10$ になる整数の組が必要だが、惜しい組は $(-2,18)$ と $(12,-3)$ で、和はそれぞれ $16$ と $9$ である。どれも当てはまらないので解は無理数であり、答えは実際に根号を含む形になる。

3. 3

   判別式を計算する。

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   割る前に根号を簡単にする。 $244=4\cdot 61$ で $61$ は素数なので

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   ここで簡単にしておくからこそ、最後の分数が約分できる。$\sqrt{244}$ のまま進めても正しいが、簡約されていない答えになる。

5. 5

   解の公式を当てはめ、共通因数 2 で約分する。

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   解と係数の関係と小数の概算で確かめる。 2 解の和は $\tfrac{-10}{4}=-2.5$、積は $\tfrac{-9}{4}=-2.25$ である。数値では $\sqrt{61}=7.8102$ なので解は $0.70256$ と $-3.20256$ となり、その和は $-2.5$、積は $-2.25$ でどちらも正しい。