4x = 3x² − 7x + 9 の解を、有効数字 3 桁で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の項が正になる側にすべてを集める。 両辺から $4x$ を引いて、最高次の係数が正のまま $=0$ の形にする：

   $0=3x^{2}-7x-4x+9\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-11x+9=0.$

2. 2

   公式に手を伸ばす前に、因数分解できるか調べる。 積が $3\cdot 9=27$ で和が $-11$ になる 2 つの整数が必要だが、組は $(-1,-27)$ と $(-3,-9)$ で、和はそれぞれ $-28$ と $-12$ である。どちらも合わないので解は無理数であり、解の公式が適した道具である。

3. 3

   係数を確認し、判別式を計算する。 $a=3$、$b=-11$、$c=9$ として、

   $b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4(3)(9)=121-108=13.$

   $13>0$ なので相異なる実数解が 2 つあり、$13$ は平方数ではないので解は無理数である。四捨五入せよという指示とも整合する。

4. 4

   解の公式を適用する。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}.$

5. 5

   値を求め、有効数字 3 桁に丸める。 $\sqrt{13}=3.605551\ldots$ として、

   $x=\frac{11+3.605551}{6}=2.434258\ldots\approx 2.43,\qquad x=\frac{11-3.605551}{6}=1.232408\ldots\approx 1.23.$

   丸めるのはこの最後の段階だけにする。$\sqrt{13}$ を早く丸めると、有効数字 3 桁目がずれることがある。

6. 6

   厳密な解と突き合わせて検証する。 解と係数の関係から $x_1+x_2=\tfrac{11}{3}\approx 3.6667$ と $x_1x_2=\tfrac{9}{3}=3$ が得られる。求めた値の和は $3.66666$ …であり、これは $\tfrac{22}{6}$ にあたる。実際 $2.434258+1.232408=3.666666=\tfrac{11}{3}$ となって $-b/a$ に一致する。積は $2.434258\times 1.232408=3.0000$ であり、$c/a=3$ に一致する。