方程式 (5x - 8)^2 - 25x^2 = 0 の解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗を展開する。

   $(5x-8)^2 = 25x^2 - 80x + 64$

   なので、方程式は $25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 = 0$ となる。

2. 2

   2 次の項が打ち消し合うのを見る。 $25x^2 - 25x^2 = 0$ なので

   $-80x + 64 = 0$

   が残る。この方程式は 2 次に 見えていた だけである。2 つの 2 乗の項が同じ係数 $25$ を持つため、実際には 1 次であり、解は 2 つではなくちょうど 1 つになる。

3. 3

   1 次方程式を解く。

   $80x = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0.8$

4. 4

   2 乗の差の道筋でも確かめる。 展開せずに因数分解すると

   $(5x-8)^2 - (5x)^2 = \left[(5x-8) - 5x\right]\left[(5x-8) + 5x\right] = (-8)(10x - 8)$

   となる。これが 0 になるには $10x - 8 = 0$、すなわち $x = 0.8$ が必要である——定数の因子 $-8$ は決して 0 にならないので、解が 1 つしかないことがここからも見て取れる。

5. 5

   検証する。 $x = 0.8$ のとき $(4 - 8)^2 - 25(0.64) = 16 - 16 = 0$。正しい。