方程式 (5x + 7)² = (5x − 6)² の解を求め、小数で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   展開せずに「平方が等しい」性質を使う。 実数では $A^{2}=B^{2}$ が成り立つのは $A=B$ または $A=-B$ のときちょうどである。両辺を展開しても解ける（$25x^{2}$ の項が消える）が、場合分けのほうが速く、構造もよく見える。

2. 2

   場合 1：$5x+7=5x-6$。 両辺から $5x$ を引くと

   $7=-6$

   $x$ を含まない偽の等式が残るので、この場合から解は出ない。これは予想どおりである。2 つの 1 次式は傾きが同じなので、決して等しくならない。

3. 3

   場合 2：$5x+7=-(5x-6)$。 右辺のマイナスを配ると

   $5x+7=-5x+6$

   $x$ の項を左辺に、定数を右辺に集めると

   $10x=-1$

4. 4

   解いて小数に直す。

   $x=-\frac{1}{10}=-0.1$

5. 5

   もとの方程式で検算する。 $x=-0.1$ のとき $5(-0.1)+7=6.5$、$5(-0.1)-6=-6.5$ である。すると $6.5^{2}=42.25$、$(-6.5)^{2}=42.25\ \checkmark$ となる。2 つのかっこの中がちょうど符号違いになっており、これこそ場合 2 が作り出そうとしていた状況である。