5^(x+2) = 3^(5-x) を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   なぜ対数が避けられないのかを押さえる。 底の $5$ と $3$ には共通の累乗がないので、指数どうしを単純に等置することはできない。両辺の対数をとるのが定石であり、最終的には比の形で消えるので底は何でもよい。

2. 2

   自然対数をとって指数を下ろす。 $\ln(A^k)=k\ln A$ を使うと

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   となる。これで方程式は $x$ について 1 次 になり、$\ln5$ と $\ln3$ はただの定数として働く。

3. 3

   展開して x の項を集める。

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   $x$ の項を両方とも左辺へ動かせば、係数は正のままで済む。

4. 4

   くくり出して対数の積の法則を使う。

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$ なので、これは

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

   と簡単になる。

5. 5

   値を求め、広く出回っている誤った小数を正す。 $\ln3=1.098612$、$\ln5=1.609438$、$\ln15=2.708050$ を使うと

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   となる。よって $x\approx0.8398$ である。この方程式の答えとして $1.037$ が示されることがあるが、それは誤りである——次の検算を見てほしい。

6. 6

   代入して検証する。 $x=0.8397871$ とすると $5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$、$3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$ となり、有効数字 7 桁で一致する ✓。誤った $x=1.037$ で試すと $5^{3.037}=132.67$ に対し $3^{3.963}=77.77$ となり、まったく一致しない ✗。