不等式 (3 × 10⁹)/4^x < 1 を解き、それを満たす最小の整数 x を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を安全に払う。 指数関数 $4^x$ はすべての実数 $x$ に対して 狭義に正 なので、両辺に掛けても不等号は反転しない。

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{すなわち}\qquad 4^x>3\times10^9$

   多項式が分母にある不等式と違って場合分けが要らないのは、まさにこの理由による。

2. 2

   底 4 の対数をとる。 $4>1$ なので $\log_4$ は増加関数であり、向きが保たれる。

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

3. 3

   底の変換公式で書き換える。 電卓には $\log_4$ がないので

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   を使う。分子は対数の法則で積を分解すればよい。

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   log 4 で割る。 $\log_{10}4=0.6020600$ なので

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   となる。したがって実数の解集合は $x>15.7412$、厳密には $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$ である。

5. 5

   最小の整数を読み取る。 $15.7412$ より真に大きい最小の整数は

   $x=16$

   である。桁の見積もりでも裏が取れる。$4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$ は $3\times10^9$ より小さく、$4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$ はそれより大きい。

6. 6

   境界の両側で検証する。 $x=16$ のとき $\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓。$x=15$ のとき $\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗。そして厳密な境界 $x=15.7412$ では、商はちょうど $0.999941$ になる ✓。