5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A のとき、A を求めよ。

Step-by-step solution

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   係数をすべて指数として内側へ移す。 指数法則 $k\log M=\log\left(M^k\right)$ が各項に使える：

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   係数は必ず引数全体にかかる指数になる。だから $(x^2+1)^{-4}$ であって、$x^{-8}+1$ には決してならない。

2. 2

   足し算になっている対数を積に直す。 $\log M+\log N=\log(MN)$ により、3 つの項が 1 つにまとまる：

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

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   負の指数を分母として書き直す。 $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$ なので、引かれていた対数は割り算になる——これは商の公式 $\log M-\log N=\log\frac MN$ を反対側から見たものである：

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

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   対数を正当に外す。 $\log$ は 1 対 1 なので、$\log P=\log Q$ からは両方が正であるかぎり $P=Q$ が従う。これで $A$ の値がそのまま得られ、指数関数を作用させる必要はない。

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   まとめる操作がこっそり広げてしまう定義域を明示する。 もとの左辺には $x>0$ かつ $x-1>0$ が必要なので、$x>1$ である。まとめた式は例えば $x=0.5$ でも平気で値を返し、そこでは $A>0$ だが $\log(x-1)$ は定義されない。答えには常に $x>1$ を添えること。

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   都合のよい値で確かめる。 $x=2$ のとき：左辺は $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1.50515-2.79588+0=-1.29073$。式からは $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0.0512$ で、$\log 0.0512=-1.29073$ ✓。