4x² + 16x + 7 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   まず判別式を計算する。 $a=4$、$b=16$、$c=7$ として、

   $b^{2}-4ac=16^{2}-4(4)(7)=256-112=144$

   正の平方数なので、相異なる有理数解が 2 つある。つまり解の公式でも因数分解でも解けるが、公式の方が手順として機械的である。

2. 2

   解の公式を適用する。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{-16\pm 12}{8}$

3. 3

   2 つの枝の値を求める。

   $x=\frac{-16+12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad x=\frac{-16-12}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$

   $\boxed{x=-\tfrac12\ \text{または}\ x=-\tfrac72}$

4. 4

   因数分解で突き合わせる。 判別式が平方数だったので、この 2 次式は有理数の範囲で因数分解できる：

   $4x^{2}+16x+7=(2x+1)(2x+7)$

   展開すると $4x^{2}+14x+2x+7=4x^{2}+16x+7$ ✓ となり、それぞれのかっこを 0 とおけば同じ 2 つの解が得られる。

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   解と係数の関係で確かめる。 解の和は $-b/a=-4$、積は $c/a=\tfrac74$ でなければならない：$-\tfrac12-\tfrac72=-4$ ✓、$\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac74$ ✓。$a>0$ のもとで $b$ と $c$ がどちらも正なので、解が両方とも負になるのも予想どおりである。