2x² − x − 15 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   ac 法の準備をする。 $a=2$、$b=-1$、$c=-15$ なので、積が $ac=2(-15)=-30$、和が $b=-1$ になる 2 数を探す。$a\neq 1$ なので、$c$ だけを因数分解しても答えは出ない。

2. 2

   その組を見つける。 $-30$ の因数の組には $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$ などがある。和が $-1$ になるのは $5$ と $-6$ である。

3. 3

   中央の項を分けて 2 項ずつくくる。

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   括弧 $(2x+5)$ が繰り返し現れることが、分け方の正しさを裏づけている。

4. 4

   積が 0 になる性質を使う。

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{または}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   2 つの解を検算する。 $x=3$ のとき $2(9)-3-15=18-18=0$ ✓。$x=-\tfrac52$ のとき $2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓。

6. 6

   解と係数の関係と判別式でも確かめる。 2 解の和は $-b/a=\tfrac12$、積は $c/a=-\tfrac{15}{2}$ になるはずで、実際 $3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓、$3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓。判別式 $1+120=121=11^{2}$ は平方数であり、そもそもこの 2 次式が有理数の範囲で因数分解できたのはそのためである。