2x² − x − 6 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最高次の係数が 1 でないので ac 法を使う。 $a=2$、$b=-1$、$c=-6$ なので、積 が $ac=2\times(-6)=-12$、和 が $b=-1$ になる 2 数を探す。$c$ だけの因数の組を当てずっぽうに試しても、この問題では行き詰まる。

2. 2

   その組を見つける。 $-12$ の因数の組は $(1,-12),(2,-6),(3,-4),(4,-3),(6,-2),(12,-1)$ であり、和が $-1$ になるのは $3$ と $-4$ である。実際 $3+(-4)=-1$、$3\times(-4)=-12$ が成り立つ。

3. 3

   中央の項を分けて 2 項ずつくくる。

   $2x^2+3x-4x-6=0$

   $x(2x+3)-2(2x+3)=0$

   $(2x+3)(x-2)=0$

   どちらの組にも括弧 $(2x+3)$ が現れることが、分け方が正しかった証拠である。

4. 4

   積が 0 になる性質を使う。

   $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32,\qquad x-2=0\Rightarrow x=2$

   $\boxed{x=2\ \text{または}\ x=-\tfrac{3}{2}}$

5. 5

   2 つの解を検算する。 $x=2$ のとき $2(4)-2-6=8-8=0$。$x=-\tfrac32$ のとき $2\left(\tfrac94\right)+\tfrac32-6=\tfrac92+\tfrac32-6=6-6=0$。どちらも方程式を満たす。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 2 解の和は $-b/a=\tfrac12$、積は $c/a=-3$ になるはずである。実際 $2+(-\tfrac32)=\tfrac12$、$2\times(-\tfrac32)=-3$ となるので、符号を取り違えた解はない。