方程式 42x = 750 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺を係数で割る。

   $x=\frac{750}{42}$

   $42\times17=714$、$42\times18=756$ なので答えは $17$ と $18$ の間にある。後で照合するのに使える便利な範囲である。

2. 2

   最大公約数を求める。 両方の数を素因数分解する：

   $750=2\cdot3\cdot5^{3},\qquad42=2\cdot3\cdot7$

   共通の素因数は $2$ と $3$ なので $\gcd(750,42)=6$ である。

3. 3

   6 で約分する。

   $x=\frac{750\div6}{42\div6}=\frac{125}{7}$

   $125=5^{3}$ で $7$ は素数なので共通因数はなく、この分数はすでに既約である。

4. 4

   帯分数と小数に直す。 $7\times17=119$ で余りが $6$ なので：

   $x=\frac{125}{7}=17\tfrac{6}{7}=17.\overline{857142}\approx17.8571$

   小数は周期 $6$ で循環する。これは分母が $7$ であることの特徴である。この値は手順 1 で予想した範囲 $(17,18)$ に収まっている ✓。

5. 5

   もとの方程式で検証する。

   $42\cdot\frac{125}{7}=\frac{42}{7}\cdot125=6\cdot125=750\ \checkmark$

   先に $7$ を $42$ に約分してしまえば、検算は厳密なまま暗算で済む。厳密な有理数の計算でも確認済みである ✓。