不等式 (4/3)(−x + 2) − (x + 4)/6 > x/2 + 2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   展開する前に共通分母を決める。 現れている分母は $3$、$6$、$2$ で、その最小公倍数は $6$ である。先にすべてを $6$ 分母にそろえておけば、分数を項ごとに分配せずに済む。符号の取りこぼしはたいていそこで起きる：

   $\frac{4}{3}(-x+2)=\frac{8(-x+2)}{6}=\frac{-8x+16}{6}$

2. 2

   左辺の 2 つの分数をまとめる。 すでに分母 $6$ を共有している：

   $\frac{-8x+16}{6}-\frac{x+4}{6}=\frac{-8x+16-x-4}{6}=\frac{-9x+12}{6}$

   マイナス符号は $x$ と $4$ の両方に掛かる点に注意する。

3. 3

   両辺を 6 倍する。 $6>0$ なので、掛けても不等号の向きは変わらない：

   $-9x+12>6\left(\frac{x}{2}+2\right)=3x+12$

4. 4

   文字の項をまとめる。 両辺から $3x$ と $12$ を引く：

   $-9x-3x>12-12\quad\Longrightarrow\quad -12x>0$

5. 5

   負の数で割り、不等号の向きを変える。 両辺を $-12$ で割ると不等号が反転する：

   $x<0$

   $\boxed{x<0\quad\text{すなわち }x\in(-\infty,0)}$

6. 6

   両側から 1 つずつ値を試す。 $x=-1$ のとき左辺は $\tfrac{4}{3}(3)-\tfrac{3}{6}=4-0.5=3.5$、右辺は $-0.5+2=1.5$ なので $3.5>1.5$ が成り立つ。$x=1$ のとき左辺は $\tfrac{4}{3}(1)-\tfrac{5}{6}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{5}{6}=0.5$、右辺は $2.5$ なので不等式は成り立たない。どちらの検証も $x<0$ と合う。