実数 x について 3^x = x^9 を解け。

Step-by-step solution

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   左辺から定義域を絞る。 すべての実数 $x$ に対して $3^{x}>0$ なので、$x^{9}$ も正でなければならない。$9$ は奇数なので $x^{9}>0$ から

   $x>0$

   が従う。したがって正の $x$ だけを考えればよく、そのとき対数をとる操作も正当になる。

2. 2

   対数をとって両辺を積の形にする。 $x>0$ のとき

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   となる。問題は「曲線 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ が、ある一定の高さの水平線とどこで交わるか」に置き換わった。

3. 3

   厳密な解を見つける。 両辺を同じ底の累乗にできないか試す。$27=3^{3}$ なので

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   となり、$x=27$ は方程式を 厳密に 満たす——整数の厳密演算で確認済みである ✓。（対照的に $x=9$ は不成立で、$3^{9}=19683$ に対し $9^{9}=387\,420\,489$ である。$x=3$ も不成立。）

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   $g$ の形から解の個数を数える。 微分すると $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ であり、$x<e$ で正、$x>e$ で負になる。したがって $g$ はただ 1 つの最大値 $g(e)=1/e\approx0.3679$ まで上昇し、その後 $0$ へ向かって減少する。目標の高さ $0.122068$ はこの最大値 より下 かつ $0$ より上なので、水平線は曲線をちょうど 2 回 切る——$x=e$ の左右に 1 つずつである。既知の解 $27$ は右側にあるので、もう 1 つの解は $(1,e)$ の中になければならない。

5. 5

   2 つ目の解を数値的に求める。 $(1,e)$ 上で $g(x)=\ln3/9$ を二分法で解くと

   $x\approx1.1508248$

   に収束する。確認すると $3^{1.1508248}=3.5406498$、$1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓ となり、$10^{-6}$ の精度で一致する。したがってこの方程式の実数解は 2 つ ある。$x=27$ だけを答えると、答えの半分を落とすことになる。

   $x=27\qquad\text{および}\qquad x\approx1.15082$