2^x + x = 5 を x について解け。

Step-by-step solution

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   閉じた式が存在しないことを見抜く。 未知数が指数の位置と一次の項の両方に現れている。対数はこれを引き離せない。$2^{x}+x$ の $\ln$ をとっても簡単にならないのは、和の対数が対数の和ではないからである。したがって正直な道は数値解である。

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   解がちょうど 1 つであることを確かめ、範囲で挟む。 $f(x)=2^{x}+x-5$ とおく。$2^{x}$ も $x$ も狭義単調増加なので $f$ も狭義単調増加であり、0 と交わるのは高々 1 回である。値を調べると：

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   連続関数の符号変化は $(1,2)$ に解があることを保証し、単調性はそれが唯一であることを保証する。

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   試し打ちで挟む幅を狭める。

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   したがって解は $1.70$ と $1.72$ の間にあり、すでに $1.72$ に近い。

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   二分法で収束させる。 区間 $[1.7,1.72]$ を繰り返し半分にし、符号が変わる側を残していくと

   $x\approx1.7156207$

   に収束する。確認：$2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$ となり、$10^{-6}$ の範囲で合う ✓。

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   丸め方に注意する——小数第 3 位が効く。 小数第 3 位までなら解は $x\approx1.716$ であって $1.717$ ではない。$1.717$ を代入すると $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$ となり、$5$ をおよそ $0.004$ 行き過ぎてしまう。解の近くで $f$ は 1 単位あたりおよそ $3.28$ の勢いで上昇するので、$x$ の $0.001$ の誤差が $f$ をおよそ $0.003$ 動かす——目に見える大きさなので、桁を 1 つ余分に持っておく価値がある。