λ と μ を媒介変数として、方程式 2x + 2λx + μ = 0 を x について解け。

Step-by-step solution

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   $x$ の項をまとめて因数分解する。 $2x$ も $2\lambda x$ も $x$ の 1 乗を含むので、ひとまとめにできる。

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   これで方程式は

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   となる。この形にすることが要点である。$x$ の係数が $2(1+\lambda)$ という 1 つの目に見える量になり、すべてはそれが 0 かどうかで決まる。

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   一般の場合 $\lambda\neq -1$ を解く。 このとき $2(1+\lambda)\neq 0$ なので割ってよい。

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   解はちょうど 1 つである。たとえば $\lambda=3,\ \mu=5$ なら $x=-\frac{5}{8}$ となり、実際 $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$ が成り立つ。

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   退化する場合 $\lambda=-1$ を扱う。 このとき $1+\lambda=0$ となって $x$ の項は完全に消え、方程式は定数だけの主張

   $\mu=0$

   に帰着する。ここでは 0 で割ることはできないので、2 つの下位の場合を直接読み取るしかない。

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   退化する場合を 2 つに分ける。 $\lambda=-1$ かつ $\mu=0$ なら方程式は $0=0$ であり、すべての 実数 $x$ で成り立つ。解集合は $\mathbb{R}$ 全体であって、これは 1 つの解を持つ方程式ではなく恒等式である。$\lambda=-1$ かつ $\mu\neq 0$ なら、$\mu\neq 0$ でありながら $\mu=0$ を主張することになり矛盾する。したがって解集合は空である。

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   3 つの場合をまとめる。 1 次方程式 $Ax+B=0$ はつねにこの形に分かれ、ここでは $A=2(1+\lambda)$、$B=\mu$ である。

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{（ただ 1 つ）}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{（無数）}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{解なし}$

   場合分けを飛ばすのが定番の誤りである。$1+\lambda$ が 0 でないことを確かめずに割ると、後ろの 2 つの可能性が黙って捨てられる。