a = λ − 2024、b = √(4 − (λ − 2024)²) とする。a と b がともに実数になる実数 λ をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの式のうち制約をかけるのは一方だけであることに気づく。 $a=\lambda-2024$ は $\lambda$ についての多項式なので、どんな実数 $\lambda$ についても実数であり、条件を何も課さない。情報はすべて $b$ に入っている。負の数の平方根は実数ではないからである。

2. 2

   根号の中身についての条件を書く。 $b$ が実数であるためには、

   $4-(\lambda-2024)^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2024)^2\le 4$

3. 3

   2 乗の不等式を絶対値に直す。 任意の実数 $t$ について、$t^2\le 4$ は $|t|\le 2$、すなわち $-2\le t\le 2$ と同値である。$t=\lambda-2024$ とすると：

   $-2\le \lambda-2024\le 2$

   全体に $2024$ を足すと（足し算で不等号の向きが変わることはない）

   $2022\le \lambda\le 2026$

4. 4

   端点と内部の 1 点で確かめる。 $\lambda=2022$ のとき $4-(-2)^2=0$ なので $b=0$ となり、実数なのでこの端点は含まれる。$\lambda=2026$ でも同様である。$\lambda=2027$ のとき $4-3^2=-5<0$ なので $b$ は虚数になり、この値は正しく除かれる。中心の $\lambda=2024$ では $b=\sqrt{4}=2$ となり、これが $b$ のとりうる最大値である。

5. 5

   答えの背後にある図形を読み取る。 2 つの定義を足し合わせると

   $a^2+b^2=(\lambda-2024)^2+\left(4-(\lambda-2024)^2\right)=4$

   となるので、$(a,b)$ はつねに原点を中心とする半径 $2$ の円上にあり、しかも主値の平方根は 0 以上なので、その上半分にある。$a=\lambda-2024$ が $[-2,2]$ の範囲しか動けないのはそのためである。それは半径 $2$ の円上の点の横座標だからである。答えは区間

   $\lambda\in[2022,\,2026]$

   である。