連立不等式 3818 ≤ 499x − 20y < 4018 − 2734 ≤ 33x − 78y < −2534 を解け。

Step-by-step solution

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   連鎖の途中に埋まっている定数を先に整理する。 $4018-2734$ はそもそも変数の式ではないので、何より先に値を出す：

   $4018-2734=1284$

   連鎖は次のようになる。

   $3818 \le 499x-20y < 1284 \le 33x-78y < -2534$

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   連鎖不等式が実際に主張していることを思い出す。 書かれた連鎖 $p \le q < r \le s < t$ は、隣り合うすべての比較が同時に成り立つことの省略記法である。したがってこれは 4 つの条件を同時に主張している：

   $3818 \le 499x-20y,\qquad 499x-20y < 1284,$
   $1284 \le 33x-78y,\qquad 33x-78y < -2534$

   だからこそ、各部分を $x$ と $y$ について解くだけでなく、定数どうしを突き合わせて確かめなければならない。

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   最初の 2 つの結び目を互いに突き合わせる。 どちらも同じ量 $499x-20y$ を縛っている：

   $3818 \le 499x-20y < 1284$

   これはある 1 つの数が $3818$ 以上で、同時に $1284$ より狭義に小さいことを要求する。$3818 > 1284$ なので、$499x-20y$ がどんな実数値をとっても不可能である。区間 $[3818,\,1284)$ は空である。

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   最後の 2 つの結び目も同じように調べる。 どちらも $33x-78y$ を縛っている：

   $1284 \le 33x-78y < -2534$

   ここでも $1284 > -2534$ だから、下限が上限を超えている。区間 $[1284,\,-2534)$ もまた空である。

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   解集合は空集合であると結論する。 連鎖のうち独立した 2 か所が自己矛盾しているので、$x$ と $y$ をどう選んでも全体を満たすことはできない。解くべきものはもう残っていない：

   $\{(x,y)\}=\varnothing$

   ここで身につけたい習慣はこうである。連立不等式が 1 本の長い連鎖として書かれていたら、まず定数の上下限を読み取る。どこかの下限が、その右にある上限を超えていたら、そこで終わりである——$x$ と $y$ についての計算は一切いらない。