λ と μ を媒介変数として、2x + 2(λ)x + μ = 0 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $x$ の項をまとめて因数分解する。 どちらの変数項も因数 $2x$ を持つ。

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)\quad\Longrightarrow\quad 2x(1+\lambda)+\mu=0$

2. 2

   積の部分を孤立させる。 $\mu$ を引くと

   $2x(1+\lambda)=-\mu$

   となる。

3. 3

   係数が 0 でないときにだけ割る。 $2(1+\lambda)$ で割るには $1+\lambda\neq 0$ が必要である。

   $x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)},\qquad\lambda\neq-1$

   確認せずに割ってしまうのが、答えの後半をまるごと隠してしまう誤りである。

4. 4

   退化する場合 $\lambda=-1$ を扱う。 このとき $x$ の係数は 0 になり、$x$ は完全に消えてしまう。

   $2x-2x+\mu=0\quad\Longrightarrow\quad\mu=0$

   したがって $\mu=0$ なら方程式は $0=0$ となり、すべての 実数 $x$ が解になる。$\mu\neq 0$ なら矛盾であり、解は 存在しない。

5. 5

   一般の公式を数値で確かめる。 $\lambda=2$、$\mu=-1$ とすると $x=\tfrac{1}{6}$ であり、$2\left(\tfrac16\right)+4\left(\tfrac16\right)-1=\tfrac13+\tfrac23-1=0$ $\checkmark$。$\lambda=0$、$\mu=3$ とすると $x=-\tfrac32$ であり、$-3+0+3=0$ $\checkmark$。