不等式 1 + 11/(2ˣ − 8) + 28/(4ˣ − 2ˣ⁺⁴ + 64) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   t = 2ˣ とおき、すべての指数を t で書き直す。 すべての実数 $x$ について $2^x > 0$ なので、$t = 2^x$ とおいて $t > 0$ とする。すると

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   肝心なのは $2^{x+4} = 16t$ であって $t + 16$ ではない、という書き換えである——指数が足されるとき、底のほうは掛けられる。

2. 2

   2 つ目の分母が完全平方であることに気づく。

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   これで 2 つの分母がどちらも同じ量 $t - 8$ を含むことになり、これが問題全体を崩す。$u = t - 8$ と書けば、不等式は

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

   になる。

3. 3

   u² を両辺に掛ける——正なので許される。 $u \ne 0$ だから $u^2 > 0$ であり、掛けても不等号の向きは変わらない：

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   分母を平方とその根の形に書き直しておくと得をするのは、まさにここである。分数についての符号表がいっさい要らない。

4. 4

   u についての 2 次不等式を解く。 上に開いた放物線は、2 つの解 $u = -7$ と $u = -4$ の外側で 0 以上になる：

   $u \le -7 \quad \text{または} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   u = t − 8 と t = 2ˣ をたどって戻す。 $u \le -7$ からは：

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   $u \ge -4$ からは：

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   どちらも $2^x$ が増加関数であることを使っているので、不等号の向きは保たれる。条件 $t > 0$ は自動的に満たされ、余分な制約は課さない。

6. 6

   除外点を取り除いて答えを述べる。 制限 $u \ne 0$ は $t \ne 8$、すなわち $x \ne 3$ を意味し、そこではもとの 2 つの分母がどちらも 0 になる。したがって

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   数値による抜き取り確認もこれを裏づける。$x = -1$ で左辺は $+0.0311$、$x = 0$ でちょうど $0$、$x = 1$ で $-0.0556$、$x = 2$ でちょうど $0$、$x = 4$ で $+2.8125$ である。