x/(x − 8) + (x − 8)/x を足して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通分母と定義域を確かめる。 分母 $x-8$ と $x$ には共通因数がないので、最小公分母はその積である：

   $x(x-8),\qquad x\neq 0,\ x\neq 8$

2. 2

   各分数をその分母の形に書き直す。 1 つ目に $\tfrac{x}{x}$ を、2 つ目に $\tfrac{x-8}{x-8}$ を掛ける：

   $\frac{x}{x-8}=\frac{x^2}{x(x-8)},\qquad\frac{x-8}{x}=\frac{(x-8)^2}{x(x-8)}$

3. 3

   分子どうしを足す。

   $\frac{x^2+(x-8)^2}{x(x-8)}$

4. 4

   分子を展開して整理する。 $(x-8)^2=x^2-16x+64$ なので

   $x^2+x^2-16x+64=2x^2-16x+64=2\left(x^2-8x+32\right)$

5. 5

   約分できるものがあるか調べる。 括弧の中の $x^2-8x+32$ は判別式が $64-128=-64<0$ なので実数の一次因数を持たず、とくに $x$ とも $x-8$ とも共通因数を持たない。したがってこの式はこれで完全に簡単な形である：

   $\frac{2\left(x^2-8x+32\right)}{x(x-8)}$

   $x=4$ での数値検算：左辺 $=\tfrac{4}{-4}+\tfrac{-4}{4}=-2$、右辺 $=\tfrac{2(16-32+32)}{4(-4)}=\tfrac{32}{-16}=-2$ $\checkmark$。