分数式 (x² + 3x − 10)/(x² − 4) を簡単にし、x に対する制限を述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和と積が合う数の組を見つけて分子を因数分解する。 $x^2 + 3x - 10$ については、掛けて $-10$、足して $3$ になる 2 数が必要で、それは $5$ と $-2$ である。

   $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

2. 2

   分母は平方の差として因数分解する。 $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$ なので、

   $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

   となる。$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ の形は真っ先に見抜く価値がある。2 数の組を探すより速いからである。

3. 3

   約分する前に制限を書き留める。 もとの式は分母が 0 になるところで定義されないので、$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$ である。これは今のうちに書いておかなければならない。次の手順で $x = 2$ の証拠が消えてしまうからである。

4. 4

   共通因数を約分する。 分子にも分母にも $(x-2)$ がある：

   $\frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{x+2}$

   約分された $(x-2)$ は、グラフの $x = 2$ に除去可能な穴を残す。簡単にした形はそこで $\tfrac{7}{4}$ という値をもつが、もとの式はもたない。

5. 5

   試験値で検算する。 $x = 3$ では、もとの式が $\tfrac{9+9-10}{9-4} = \tfrac{8}{5} = 1.6$、簡単にした形が $\tfrac{3+5}{3+2} = \tfrac{8}{5} = 1.6$ である。除外した点を除けば、2 つはどこでも一致する。