分子が x² − 9、分母が x + 3 の分数式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   簡単にする前に定義域を書き留める。 分母は $x+3=0$ のとき 0 になるので、この式は $x=-3$ で定義されない。これを先に確かめておくことが大切である。簡単にするとこの事実が見えなくなってしまうからである。

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   分子を平方の差として因数分解する。 $9=3^2$ と書いて $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ を使う：

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   共通因数を見せてくれるのは因数分解した形である。項ごとに約分しようとしても、これは決して見つからない。

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   共通因数を約分する。

   $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$

   これはもとの式が定義されるすべての $x$、すなわち $x+3\neq 0$ となるところで正当である。

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   答えには制限も添えて述べる。

   $\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\qquad x\neq -3$

   両辺は同じ関数ではない。左辺は $x=-3$ に穴があるが、直線 $x-3$ には穴がない。これは除去可能な不連続点の標準的な例であり、$\lim_{x\to-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$ が、その穴が「求めている」値である。

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   値を代入して確かめる。 $x=1$ では、もとの式は $\frac{1-9}{4}=-2$ であり、$x-3=-2$ ✓。$x=-3$ ではもとの式は $\frac00$ で定義されないが、$x-3$ なら $-6$ を返してしまう。制限が省略できないことがこれで確かめられる。