分子が L の 2 乗マイナス R の 2 乗、分母が H + R の分数を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   平方の差を使って分子を因数分解する。 $L^2-R^2$ は $a=L$、$b=R$ とした $a^2-b^2$ なので

   $L^2-R^2=(L-R)(L+R)$

   となり、分数は $\dfrac{(L-R)(L+R)}{H+R}$ になる。因数分解を最初にやるのはつねに正しい。約分ができるのは因数どうしのあいだだけであり、個々の項どうしでは決してできないからである。

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   手持ちの因数を分母と見比べる。 分子が差し出すのは $(L-R)$ と $(L+R)$、分母は $(H+R)$ である。これらは同じ式ではない。$(L+R)$ と $(H+R)$ は $R$ の部分こそ一致するが先頭の文字が違い、$L$ が $H$ を約分してよいという規則は存在しない。

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   簡単にした形を述べる。 共通因数がないので、作業はここで止まる：

   $\frac{L^2-R^2}{H+R}=\frac{(L-R)(L+R)}{H+R}$

   これが「簡単にした」形だというのは、分子が完全に因数分解されているという意味である。分数そのものは約分できない。

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   唯一の特別な場合を押さえる。 問題がさらに $H=L$ を与えているなら、分母は $L+R$ になり、これは因数と確かに一致する：

   $\frac{(L-R)(L+R)}{L+R}=L-R\qquad (L+R\neq 0)$

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   一般には約分できない理由を数で示す。 $L=5$、$R=3$、$H=2$ とすると、分数は $\frac{25-9}{2+3}=\frac{16}{5}=3.2$ である一方、$L-R=2$ である。値が違うので、約分していたら誤りだった。代わりに $H=L=5$ とすると $\frac{16}{8}=2=L-R$ ✓ となり、特別な場合の予測どおりである。