x² から (x/2 + 5 の平方根) の 2 乗の 3 倍を引いた式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   まず括弧を 2 乗する。指数のほうが 3 倍より強く結びついている。 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ に $a=\frac{x}{2}$、$b=\sqrt5$ を代入すると：

   $a^2=\frac{x^2}{4},\qquad 2ab=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\sqrt5=x\sqrt5,\qquad b^2=(\sqrt5)^2=5$

   となるので、$\left(\frac{x}{2}+\sqrt5\right)^2=\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5$ である。$b^2=5$ がぴったりであることに注目したい。2 乗によって根号が消えている。

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   2 乗した式全体を 3 倍する。

   $3\left(\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5\right)=\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15$

   3 つの項がどれも 3 倍される。根号を含む項も例外ではない。

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   マイナス符号を 3 項すべてに配りながら引く。

   $x^2-\left(\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15\right)=x^2-\frac{3x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

   ふつう符号を落とすのはここである。中央の項と最後の項がどちらも負になる。

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   $x^2$ の項をまとめる。

   $x^2-\frac{3x^2}{4}=\frac{4x^2-3x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$

   よって簡単にした式は

   $\frac{x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

   となる。

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   $x=2$ で検算する。 もとの式は $4-3\left(1+\sqrt5\right)^2=4-3\left(6+2\sqrt5\right)=4-18-6\sqrt5=-14-6\sqrt5\approx -27.416$ である。答えからは $1-6\sqrt5-15=-14-6\sqrt5\approx -27.416$ ✓ が得られる（$3\sqrt5\approx 6.7082$ を使った）。