(x + y)(x − y) + 4(y − 1) を簡単にし、その結果を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方の差の公式で積を展開する。

   $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

   1 項ずつ掛け合わせても同じ結果になるが、公式を使えば打ち消し合う 2 つの交差項を書かずに済む。

2. 2

   2 つめの括弧を展開する。

   $4(y-1) = 4y - 4$

3. 3

   まとめて、簡単にした式にする。

   $x^2 - y^2 + 4y - 4$

   どの 2 項も同類項ではないので、展開した形としてはこれで完全に簡単になっている。

4. 4

   2 つめの平方の差を見つける。 後ろの 3 項をまとめて $-1$ をくくり出すと：

   $-y^2 + 4y - 4 = -\left(y^2 - 4y + 4\right) = -(y-2)^2$

   となるので、式全体は $x^2 - (y-2)^2$ である。これもまた 2 つの平方の差である。

5. 5

   因数分解する。

   $x^2 - (y-2)^2 = \left(x - (y-2)\right)\left(x + (y-2)\right) = (x - y + 2)(x + y - 2)$

6. 6

   (x, y) = (3, 5) で数値検算する。 もとの式は $(8)(-2) + 4(4) = -16 + 16 = 0$ である。展開した形からは $9 - 25 + 20 - 4 = 0$、因数分解した形からは $(3-5+2)(3+5-2) = 0 \times 6 = 0$ が得られる。3 つとも一致する。値が 0 になったのは偶然ではない。$x = y - 2$ のとき最初の因数が消えるからである。