式 x² + 8xy + 16y² − 4z をより簡単な形に書き直せ。

Step-by-step solution

1. 1

   最初の 3 項が完全平方かどうかを試す。 3 項式 $A^2 + 2AB + B^2$ が完全平方になるには、両端の項が平方であり、真ん中の項がそれらの積の 2 倍でなければならない。ここでは $x^2 = (x)^2$、$16y^2 = (4y)^2$ であり、

   $2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$

   が真ん中の項とちょうど一致する。

2. 2

   平方の形に書く。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$

3. 3

   残った項と組み直す。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 - 4z = (x + 4y)^2 - 4z$

4. 4

   なぜここまでなのかを説明する。 $(x+4y)^2 - 4z$ が平方の差になるのは、$4z$ 自身が平方であるとき、すなわちある式 $w$ について $z = w^2$ となるときに限る。そのときは $\left(x + 4y - 2w\right)\left(x + 4y + 2w\right)$ と因数分解できる。$z$ が何の制約もない独立変数である以上、多項式環の上でこれ以上の因数分解は存在しない。

5. 5

   数値で検算する。 $(x, y, z) = (3, -1, 2)$ のとき、元の式は $9 - 24 + 16 - 8 = -7$、書き直した式は $(3 - 4)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$ となる。$(2, 1, 0)$ のときは $4 + 16 + 16 - 0 = 36$ と $(2+4)^2 = 36$ である。どちらも一致する。