E = (x + 2)³ + (x − 2)³ + x³ − 3x(x + 2)(x − 2) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの 3 乗を二項の公式で展開する。 $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ に $b = 2$ を代入する：

   $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

   $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

   奇数乗の項は符号の並びをそのまま保つ。次の手順できれいに潰れるのは、そのためである。

2. 2

   2 つの 3 乗を足す。偶数乗の項が消える。

   $(x+2)^3 + (x-2)^3 = 2x^3 + 24x$

   $\pm 6x^2$ の項も $\pm 8$ の定数も、偶数番目と奇数番目に符号を逆にして並んでいるので打ち消し合う。

3. 3

   平方の差を使って積の項を簡単にする。 まず括弧の対を処理する：

   $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

   よって

   $-3x(x+2)(x-2) = -3x(x^2 - 4) = -3x^3 + 12x$

   $-3x$ を（$-4$ も含めて）両方の項に配るところが、最も符号を落としやすい箇所である。

4. 4

   すべてを集める。 3 つの部品を並べる：

   $E = (2x^3 + 24x) + x^3 + (-3x^3 + 12x)$

   3 次の列は $2x^3 + x^3 - 3x^3 = 0$。1 次の列は $24x + 12x = 36x$。$x^2$ の項も定数項も残らない。

5. 5

   結果を述べ、検算する。

   $E = 36x$

   $x = 1$ での数値検算：$27 + (-1) + 1 - 3(3)(-1) = 27 - 1 + 1 + 9 = 36 = 36 \cdot 1$。$x = 2$ では $64 + 0 + 8 - 6(4)(0) = 72 = 36 \cdot 2$。どちらも 1 次式という結果を裏づけている。