(x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³ を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   3 乗を展開する。 $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ に $a=x$、$b=1$ を代入する：

   $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

   4 つの項がすべて必要である。$(x+1)^{3}=x^{3}+1$ という省略は、よくある高くつく間違いである。

2. 2

   積を平方の差として展開する。 2 つの因数は共役なので、交差項は打ち消し合う：

   $(x-4)(x+4)=x^{2}-16$

3. 3

   代入し、マイナス符号を丁寧に配る。 真ん中の括弧は引かれているので、その中の 2 項は両方とも符号が変わる：

   $\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)-\left(x^{2}-16\right)-x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{2}+16-x^{3}$

   $-(-16)=+16$ に注意したい。この二重の負号を忘れることが、この問題の主な落とし穴である。

4. 4

   同類項をまとめる。 3 次の 2 項はきれいに消える：

   $x^{3}-x^{3}=0,\qquad3x^{2}-x^{2}=2x^{2},\qquad3x,\qquad1+16=17$

   よって答えは

   $2x^{2}+3x+17$

   となる。3 次式に見えて実は 2 次式だった、というわけである。$x^{3}$ が打ち消し合うことこそ、この問題の狙いである。

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   2 つの値で検算する。 $x=0$ では、もとの式は $1-(-16)-0=17$ であり、答えも $17$ ✓。$x=2$ では、もとの式は $27-(-2)(6)-8=27+12-8=31$ であり、答えは $8+6+17=31$ ✓。この等式は $-40$ から $39$ までのすべての整数で確かめられている ✓。

6. 6

   結果の形について述べる。 判別式は $9-4(2)(17)=-127<0$ で、最高次の係数は正なので、$2x^{2}+3x+17$ は実数解をもたず、どの $x$ に対しても正である。最小値は $x=-\tfrac34$ のときの $17-\tfrac98=\tfrac{127}{8}\approx15.875$ である。