(1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)² を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積を分配法則で展開する。 符号に注意しながら、前のかっこの各項を後ろのかっこの各項に掛ける。

   $(1-2x)(5-3x)=5-3x-10x+6x^{2}=6x^{2}-13x+5$

   最後の積 $(-2x)(-3x)=+6x^{2}$ が正になるのは、負どうしの積が正になるからである。

2. 2

   平方を差の公式で展開する。 $a=4$、$b=x$ として $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ を使う。

   $(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}$

   項は3 つある。$16-x^{2}$ や $16+x^{2}$ と書くと、肝心の真ん中の項 $-8x$ が落ちてしまう。

3. 3

   2 つの展開を足す。

   $\left(6x^{2}-13x+5\right)+\left(16-8x+x^{2}\right)$

4. 4

   次数ごとに同類項をまとめる。

   $6x^{2}+x^{2}=7x^{2},\qquad-13x-8x=-21x,\qquad5+16=21$

   したがって

   $7x^{2}-21x+21$

5. 5

   検算し、共通因数に注目する。 $x=1$ のとき、もとの式は $(-1)(2)+9=7$、答えの式は $7-21+21=7$ ✓。この等式は $-30$ から $29$ までのすべての整数で成り立つ ✓。3 つの係数はどれも $7$ を因数に持つので、結果は $7\left(x^{2}-3x+3\right)$ とも書ける。中の 2 次式の判別式は $9-12=-3<0$ なので実数の範囲でこれ以上因数分解できず、式の値はつねに正である。