(x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x − 1)³ を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   今回は共通因数による近道がないことに気づく。 末項が $2(x+1)^3$ である類題と違って、ここでの末項は $2(x-1)^3$ なので、$(x+1)$ はすべての項の因数ではない。確実なのは、4 つの積をすべて展開してまとめる道である。

2. 2

   それぞれの積を展開する。

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $-2(x+1)^2(x-1)=-2\left(x^2+2x+1\right)(x-1)=-2\left(x^3+x^2-x-1\right)=-2x^3-2x^2+2x+2$

   $-(x+1)(x-1)^2=-\left(x^2-1\right)(x-1)=-\left(x^3-x^2-x+1\right)=-x^3+x^2+x-1$

   $2(x-1)^3=2\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=2x^3-6x^2+6x-2$

3. 3

   3 次の係数を足す。

   $1-2-1+2=0$

   よって $x^3$ の項は消え、結果はたかだか 2 次になる。類題と同じ構造上の驚きに、別の道筋からたどり着いたわけである。

4. 4

   残りの係数も足す。 $x^2$ については $3-2+1-6=-4$。$x$ については $3+2+1+6=12$。定数項については $1+2-1-2=0$。したがって

   $-4x^2+12x$

5. 5

   因数分解して検算する。

   $-4x^2+12x=4x(3-x)=-4x(x-3)$

   $x=1$ のとき、もとの式は $8-2(4)(0)-2(0)+0=8$ であり、$4(1)(2)=8\;\checkmark$。$x=3$ のとき、もとの式は $64-2(16)(2)-4(4)+2(8)=64-64-16+16=0$ であり、$4(3)(0)=0\;\checkmark$。因数分解した形は $x=0$ と $x=3$ に零点があることを正しく言い当てている。