f(x) = (−x² − 289)/x を簡単にし、その定義域を述べよ。

Step-by-step solution

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   まず分子が因数分解できるかを調べる。 $-x^2-289 = -(x^2+289)$ である。$x^2+289$ は平方の和なので実数の範囲に因数はなく、まるごと約分できるものはない。分数を分けることが、できる唯一の簡約である。

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   1 つの分数を 2 つに分ける。 割り算は分子の項に分配される： $\frac{-x^2-289}{x} = \frac{-x^2}{x} - \frac{289}{x}.$ これが正当なのは、どちらの部分も同じ分母 $x$ を保つからである。

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   1 つ目の項で x の因数を 1 つ約分する。 $\dfrac{-x^2}{x} = \dfrac{-x\cdot x}{x} = -x$ であり、すでに $x \neq 0$ を仮定しているので正当である。2 つ目の項は分子に $x$ をもたないので、$-\dfrac{289}{x}$ のまま残る。

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   簡単にした形を組み立てる。 $f(x) = -x - \frac{289}{x} = -\left(x + \frac{289}{x}\right).$ 括弧でくくった形にすると構造がはっきりする。$f$ は「ある数と、その逆数の定数倍との和」に $-1$ を掛けたものである。

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   定義域を述べる。 もとの分母は $x$ なので $x=0$ を除かなければならない。定義域は $x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)$ である。簡単にした形も同じ制限をもつので、穴が新たにできたり消えたりはしていない。

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   おまけとして構造も読み取る。 $f(-x) = x + \dfrac{289}{x} = -f(x)$ なのでこの関数は奇関数であり、$x = 0$ は垂直漸近線、$y = -x$ は斜めの漸近線である。